もし理系東大生が経済を勉強したら

金融工学入門1,2章について。現在価値(Present Value), キャッシュフロー(Cash Flow)について。

まず金融工学全体に関わる仮定として、理想銀行というものを考える。これは１年あたりの金利は常に一定で、貸し付けも預け入れも同じ金利であるような銀行である。もちろん、無限に貸出しor預け入れができるものとする。

次に、キャッシュフローを定義しよう。キャッシュフローとは資金の流れのことで、数学的には０から始まる自然数を添数集合とする数列のことである。

e.g. キャッシュフロー(-4, 1, 2, 3)を考える。これは今年¥4が手元から消え、来年には¥1手に入り、再来年は¥2、３年後には¥3を受け取る、という意味である。

さて、理想銀行の仮定を用いてキャッシュフローを変形することを考える。そして、その変形による同値関係を導入しよう。例えば金利が0.01のとき、今¥100を受け取るのと、１年後に¥101を受け取ることは（理想銀行によって）互いに同等である。つまり(100, 0) ~ (0, 101)なる同値関係~を導入できることを示す。

まず、今¥100を受け取るときを考える。このとき、理想銀行に¥100を預け入れることによって、１年後には¥101を受け取ることができる。よって、キャッシュフローが(100, 0)から(0, 101)に変形できた。次に１年後に¥101を受け取るときを考える。このとき、理想銀行から¥100を借りることによって、１年後には何も受け取らず（借金を返す）、今¥100を受け取る。よって、キャッシュフローが(0, 101)から(100, 0)に変形できた。

以上と同じような議論を用いて、理想銀行によるキャッシュフローの変形の同値関係~は対称律を満たすことがわかる。（他の２つの条件、反射律、推移律は当然満たす）

この同値関係によって、キャッシュフローが実数と同一視できることがわかる。

すなわち、~でキャッシュフローの全体集合を割った商集合を考えると、金利をrとして、

となることから、その商集合から実数への全単射PVが存在する。（右辺のキャッシュフローの初項を射影すればよい。）

上の商写像PVによるキャッシュフローの行き先のことを、現在価値（Present Value）と呼ぶ。

つまり現在価値とは、貸し付けも預け入れも同じ金利でやってくれる理想銀行によって、資金を借りたり預けたりすることによって現在の資金にしたときのお金のことなのです！この概念によって、時点の違うお金が比べられるのですね。

e.g. (-1, 2, 0) と (-1, 0, 3) というキャッシュフローのうち、金利0.1のときどちらが優れているか。
PV(-1, 2, 0) =  -1 + 2/1.1 = 0.82
PV(-1, 0, 3) = -1 + 0/1.1 + 3/1.1/1.1 = 1.5
より、後者の方が優れている。（キャッシュフローを変形すると、後者は¥1.5を今受け取ることができるが、前者は¥0.82しか得られない。）

以上、数学的な現在価値の導入でした。（集合位相の知識を使って少し難しくしてしまいました。）

PER（株価収益率;Price Earnings Ratio）とは、時価総額（Price）と当期の純利益（Earnings）の割合です。

PER = (時価総額) / (当期純利益)

もしくは発行済株数で分母分子を割ると、

PER = (株価) / (１株あたり当期純利益)

となります。つまり、PERとは株価を企業が稼ぐにはおおよそ何年かかるか、という指標です。

例えば株価が3000円、１株あたり当期純利益が150円だとします。すると、PER = 20であって、この企業は20年間ちょうど同じ純利益を出し続けると、株価分を稼いでくれるわけです。純利益というのは基本的には投資家へ分配されるので、20年で株価として払った分が配当として返ってきます。

当然PERが低ければ低いほどお得なわけです。PERが他の企業に比べて低い企業は、割安だと言われます。

企業評価においてとても重要な概念で、他の企業とPERを比較することで割安感を定量的に測れるのです。

経済といっても、マクロ経済学とかはあんまりやる気はありません。とりあえず金融工学か企業分析などをやりたいと思っています。

参考書としては

金融工学入門 (デービッド・G・ルーエンバーガー著)

企業分析入門 (パレプ、ヒーリー、バーナード著)

を予定しています。

東大の図書館にはこういう大型の専門書が置いてあっていいですね。私は夏期の長期貸出しを利用して、勉強しようと思っています。